Свободная абелева группа

Свободная абелева группа (свободный ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль) — абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом ${\displaystyle B}$ называют также формальными суммами над ${\displaystyle B}$. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров.

Как и векторные пространства, свободные абелевы группы классифицируются мощностью базиса; эта мощность не зависит от выбора базиса и называется рангом группы^[1][2].

Например, группа ${\displaystyle G=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}}$ — прямая сумма двух копий бесконечной циклической группы ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — свободная абелева группа ранга 2, так как имеет базис ${\displaystyle B=\lbrace e_{1},e_{2}\rbrace }$, где ${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$ и ${\displaystyle e_{2}=(0,1)}$. Произвольный элемент ${\displaystyle (n,m)}$ группы ${\displaystyle G}$ единственным образом представляется в виде их линейной комбинации: ${\displaystyle (n,m)=ne_{1}+me_{2}}$. Более общо, свободной абелевой группой является любая решётка в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^[3]. Никакая конечная абелева группа, кроме тривиальной, не является свободной (так как свободная абелева группа не имеет кручения).

Для любого множества ${\displaystyle B}$ можно определить группу ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$, элементы которой — функции из ${\displaystyle B}$ во множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, а скобки обозначают тот факт, что все функции принимают ненулевые значения не более чем на конечном множестве. Сложение функций определяется поточечно: ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$, относительно этого сложения ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ образует свободную абелеву группу, базис которой находится во взаимно-однозначном соответствии со множеством ${\displaystyle B}$. Действительно, любому элементу ${\displaystyle x}$ множества ${\displaystyle B}$ можно сопоставить функцию ${\displaystyle e_{x}}$, такую что ${\displaystyle e_{x}(x)=1}$ и ${\displaystyle e_{x}(y)=0}$ для всех элементов ${\displaystyle y}$ из множества ${\displaystyle B}$ таких, что ${\displaystyle y\neq x}$. Любая функция ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ представима единственным образом в виде конечной линейной комбинации базисных функций:

${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}}$.

Группа ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ с базисом ${\displaystyle \{e_{x}\}_{x\in B}}$ единственна с точностью до изоморфизма; её элементы называются формальными суммами элементов ${\displaystyle B}$.

Свободные группы можно охарактеризовать с помощью следующего универсального свойства: функция ${\displaystyle b}$ из множества ${\displaystyle B}$ в абелеву группу ${\displaystyle F}$ является вложением базиса в эту группу, если для любой функции ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle B}$ в произвольную абелеву группу ${\displaystyle A}$ существует единственный гомоморфизм групп ${\displaystyle G\colon F\to A}$ такой, что ${\displaystyle g=G\circ b}$. Как и для любого универсального свойства, удовлетворяющий этому свойству объект автоматически единственнен с точностью до изоморфизма, поэтому данное универсальное свойство можно использовать для доказательства того, что все другие определения свободной группы с базисом ${\displaystyle B}$ эквивалентны.

Подгруппа свободной абелевой группы также является свободной абелевой группой. Доказательство этого свойства зависит от аксиомы выбора^[4]; в различных учебниках используются разные варианты доказательства, например, в «Алгебре» Ленга приводится доказательство, использующее лемму Цорна^[5], тогда как Соломон Лефшец и Ирвинг Капланский использовали принцип вполне упорядочивания, считая такое доказательство более интуитивным^[6].

В случае конечнопорождённых групп доказательство более простое и позволяет получить более точный результат: подгруппа ${\displaystyle G}$ конечнопорождённой свободной группы ${\displaystyle F}$ свободна, притом существует базис ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ группы ${\displaystyle F}$ и натуральные числа ${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$ (то есть каждое из чисел делит последующее), такие что ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ образуют базис ${\displaystyle G}$. Более того, последовательность ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$ зависит только от ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$, но не от выбора базиса^[1].

Все свободные абелевы группы свободны от кручения, то есть не существует элемента группы ${\displaystyle x}$ и ненулевого числа ${\displaystyle n}$, таких что ${\displaystyle nx=0}$. Обратно, любая конечно порождённая свободная от кручения абелева группа свободна^[7]. Аналогичные утверждения верны, если заменить слова «группа без кручения» на «плоская группа»: для абелевых групп плоскость эквивалентна отсутствию кручения.

Группа рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — пример абелевой группы без кручения, не являющейся свободной. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно заметить, что группа рациональных чисел является делимой, тогда как в свободной группе никакой из элементов базиса не может быть кратен другому элементу^[1].

Любая свободная абелева группа может быть описана как прямая сумма некоторого множества копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (равномощного её рангу). Прямая сумма любого количества свободных абелевых групп также свободна; в качестве её базиса можно взять объединение базисов слагаемых^[1].

Прямое произведение конечного числа свободных абелевых групп также является свободным и изоморфно их прямой сумме. Однако для произведения бесконечного числа групп это не верно; например, группа Баера — Шпекера ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ (прямое произведение счётного числа копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) не является свободной абелевой^[8][9]. В то же время, любая её счётная подгруппа является свободной абелевой^[10].