Серебряное сечение

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Система счисления	Оценка числа δs
Двоичная	10.0110101000001001111…
Десятичная	2.4142135623730950488…
Шестнадцатеричная	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь	${\displaystyle 2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$

Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая некоторое геометрическое соотношение, выделяемое эстетически. В отличие от золотого сечения, по аллюзии с которым оно названо, серебряное сечение не имеет единого определения. Наиболее последовательным является следующее:

1. Величины a и b находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы b + 2a к a равняется отношению a к b:

${\displaystyle ~~~~~{\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}~}$, где a - большее число, b - меньшее число.

1. Серебряное сечение — иррациональное (но алгебраическое) число, равное ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ или приблизительно 2,4142135623. Для использования в процентном делении используется отношение, близкое к этому числу, — 70/29.

В последнее время некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию динамических прямоугольников Джея Хембриджа. Математики исследовали серебряное соотношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами, числами Пелля, восьмиугольником и др.

Обозначим далее серебряное сечение через ${\displaystyle \delta _{S}}$ (общепринятого обозначения нет). Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:

${\displaystyle {\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}\,.}$

Это уравнение имеет единственный положительный корень.

• ${\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,210}$. Это следует из ${\displaystyle (\delta _{S}-1)^{2}=2\,.}$

• ${\displaystyle \delta _{S}=[2;2,2,2,\dots ]}$ — в виде цепной дроби:

${\displaystyle \delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}\,.}$

подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениями последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

В виде бесконечных вложенных радикалов:

• ${\displaystyle \delta _{S}=2{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+...}}}}}}}$.
• ${\displaystyle \delta _{S}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+2{\sqrt {1+...}}}}}}}$.

Встречаются и другие определения серебряного сечения.

Например, отталкиваясь от определения золотого сечения через цепную дробь, серебряными называют любые цепные дроби, в которых знаменатели постоянны:

${\displaystyle [n;n,n,n,\dots ]}$.

• Аракелян Г. Б. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989, 300 с. — С. 90-95, 252.

• Explanation of Silver Means
• Weisstein, Eric W. Silver Ratio (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Числа Пелля
• Пластическое число
• Золотое сечение
• Вера де Шпинадель (1999) The Family of Metallic Means, Vismath 1(3) from Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts