Схема преобразования

Схемой преобразования [множеств] (Axiom schema of replacement) называется следующее высказывание теории множеств:

• ${\displaystyle \forall x\exists ^{\{1\}}y\ (\phi [x,y])\to \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )}$, где ${\displaystyle \forall x\exists ^{\{1\}}y\ (\phi [x,y])\Leftrightarrow \forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\Leftrightarrow \forall x\exists y\forall y'(\phi [x,y]\leftrightarrow y=y')}$

Схему преобразования можно сформулировать словесно: "Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество ${\displaystyle d}$, высказав функциональное суждение ${\displaystyle \phi }$ обо всех элементах ${\displaystyle b}$ данного множества ${\displaystyle a}$."

Пример

В следующем примере функциональное суждение ${\displaystyle y=x}$ преобразует каждое множество ${\displaystyle a}$ в самого себя.

${\displaystyle \phi [x,y]\leftrightarrow y=x\quad \Rightarrow \quad \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c=b))\quad \Leftrightarrow \quad \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)}$

Схему преобразования записывают также в следующем виде:

• ${\displaystyle \forall a\ (\ \forall b\ (b\in a\to \exists ^{\{1\}}y\ (\phi [b,y])\ )\quad \to \quad \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ ))}$

Примеры

1. В следующем примере функциональное суждение ${\displaystyle y=2b'}$ преобразует множество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ в множество чётных чисел ${\displaystyle \{0,2,4,...\}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}a=\mathbb {N} \ \land \ (\phi [b',y]\leftrightarrow y=2b')\quad \Rightarrow \quad \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \mathbb {N} \ \land \ c=2b))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,2,4,...\})\end{aligned}}}$

2. В следующем примере функциональное суждение ${\displaystyle (b'=0\to y=a_{1})\ \land \ (b'\neq 0\to y=a_{2})}$ преобразует множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в [неупорядоченную] пару ${\displaystyle \{a_{1},\ a_{2}\}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}a=\mathbb {R} \quad \land \quad (\phi [b',y]\leftrightarrow (b'=0\to y=a_{1})\ \land \ (b'\neq 0\to y=a_{2}))\quad \Rightarrow \\\ \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \mathbb {R} \ \land \ (b=0\to c=a_{1})\land (b\neq 0\to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c=a_{2})\end{aligned}}}$

3. В следующем примере функциональное суждение ${\displaystyle (0\leq b'\leq 1\to y=b')\ \land \ (\neg (0\leq b'\leq 1)\to y=1)}$ преобразует множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в подмножество натуральных чисел ${\displaystyle \{n:\ n\in \mathbb {N} \ \land \ n<2\}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}a=\mathbb {Z} \quad \land \quad (\phi [b',y]\leftrightarrow (0\leq b'\leq 1\to y=b')\land (\neg (0\leq b'\leq 1)\to y=1))\quad \Rightarrow \\\ \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \mathbb {Z} \land (0\leq b\leq 1\to c=b)\land (b<0\lor b>1\to c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{n:\ n\in \mathbb {N} \ \land \ n<2\}\ )\end{aligned}}}$

Схему преобразования записывают также в следующем виде:

• ${\displaystyle \forall a\ (\ \forall b\ (b\in a\to \exists ^{\{0,1\}}y\ (\phi [b,y]))\quad \to \quad \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ ))}$, где ${\displaystyle \exists ^{\{0,1\}}y\ (\phi [b,y])\Leftrightarrow \forall y\forall y'\ (\phi [b,y]\ \land \ \phi [b,y']\to y=y')}$

Фон Нейман доказал, что данная аксиома следует из аксиомы ограничения размера. Аксиома схемы преобразований может быть выражена как: если F является функцией, а A является множеством, то F(A) - это множество.

1. Связь между схемой преобразования и аксиомой пары выражается следующим высказыванием:

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))\quad \land \quad (\phi [b',y]\ \leftrightarrow \ (b'=\varnothing \to y=a_{1})\land (b'\neq \varnothing \to y=a_{2})\ )\\\ \rightarrow \quad (\exists d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\land \phi [b,c]))\ \rightarrow \ \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})\ )),\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))}$ - булеан булеана пустого множества.

2. Связь между схемой преобразования и схемой выделения выражается следующим высказыванием:

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\forall a\ (\ x\in \{b:b\in a\land \Phi [b]\}\quad \land \quad (\phi [b',y]\ \leftrightarrow \ (\Phi [b']\to y=b')\land (\neg \Phi [b']\to y=x)\ )\\\ \to \quad (\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\land \phi [b,c]))\ \leftrightarrow \ \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\land \Phi [b]))\ )\end{aligned}}}$

Схема преобразования не вошла в совокупность аксиом теории множеств, сформулированных немецким математиком Эрнстом Цермело в 1908 году.

Схема преобразования предложена Адольфом Френкелем в 1922 году, чуть позднее и независимо от него схема была предложена норвежским математиком Туральфом Скулемом.

• Аксиоматика теории множеств