Модифицированные функции Бесселя

Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравнении Бесселя

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0

заменить $\ z$ на $\ iz$ , оно примет вид

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)

Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя .

Если $\nu$ не является целым числом, то функции Бесселя $J_{\nu }(iz)$ и $J_{-\nu }(iz)$ являются двумя линейно независимыми решениями уравнения $(1)$ . Однако чаще используют функции

I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}

и

I_{-\nu }(z).

Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если $\nu$ — вещественное число, а z неотрицательно, то эти функции принимают вещественные значения.

$\nu$ называется порядком функции.

Функция

K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi }}{\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z){\biggr ]}

также является решением уравнения $(1)$ . Её называют модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . Очевидно, что

K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)

и принимает вещественные значения, если $\nu$ — вещественное число, а $z$ положительно.

График модифицированных функций Бесселя первого рода с различными порядками

График модифицированных функций Бесселя второго рода с различными порядками

Функции целого порядка

Так как $I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)$ при целом $\nu$ в качестве фундаментальной системы решений уравнения $(1)$ выбирают $I_{n}(z)$ и $K_{n}(z),$ где

K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu }(z).

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

Модифицированные функции Бесселя первого рода

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^{\nu -m}I_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).

I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu }(z).

I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu }(z).

Модифицированные функции Бесселя второго рода

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(-1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(-1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).

K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).

K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu }(z).

Вронскиан системы модифицированных функций Бесселя

W\left[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z}}.

W\left[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)\right]=-z^{-1}.

Интегральные представления

Модифицированные функции Бесселя первого рода

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu }dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},\Gamma (z)

— гамма-функция.

I_{\nu }(z)={\frac {2^{1-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\cosh(zt)dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}e^{-zt}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\in \mathbb {Z} ,Re(z)>0.

Модифицированные функции Бесселя второго рода

{{K}_{\nu }}(z)=\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}\cosh(\nu t)dt,\qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }}}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{1}^{\infty }{{({{t}^{2}}-1)}^{\nu -{\frac {1}{2}}}}{{e}^{-zt}}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }}}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}{{\left(\sinh t\right)}^{2\nu }}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.

Асимптотическое поведение

I_{\nu }(z)\varpropto {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|Arg(z)\right|<{\frac {\pi }{2}},\left|z\right|\to \infty .

K_{\nu }(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|z\right|\to \infty .

Частный и общий случаи:

K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2}}{m!\left(-{8z}\right)^{m}}},\qquad \left|z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<\pi /2

 $K_{\nu }(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}{\Bigl (}1+{\frac {\left({4\nu ^{2}-1^{2}}\right)}{1!\left(8z\right)^{1}}}+{\frac {{\left({4\nu ^{2}-1^{2}}\right)}{\left({4\nu ^{2}-3^{2}}\right)}}{2!\left(8z\right)^{2}}}+\ldots {\Bigr )},\qquad \left|z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<\pi /2$

Замечание

Существует классический ряд Шлёмильха по j-функциям Бесселя ^[1] ^[2]

См. также

Цилиндрические функции

Литература

Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Т. 1, 2. — М.: ИЛ, 1949.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены: Справочная математическая библиотека. — М.: Физматгиз, 1966. — 296 с.

Примечания

↑ Ляхов Л.Н. О j-рядах Шлемильха. Научные ведомости. Серия "Математика. Физика". 2013. №12 (155). Вып. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/o-j-ryadah-shlemilha
↑ Дж.Н. Ватсон. Теория бесселевых функций. (Книга). Глава XIX. Ряды Шлемильха

Ссылки

Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the First Kind (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the Second Kind (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[1] Ляхов Л.Н. О j-рядах Шлемильха. Научные ведомости. Серия "Математика. Физика". 2013. №12 (155). Вып. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/o-j-ryadah-shlemilha

[2] Дж.Н. Ватсон. Теория бесселевых функций. (Книга). Глава XIX. Ряды Шлемильха

[1]

[2]