Эффект Виллари

Качественно связь эффекта Виллари с величиной и знаком магнитострикции ферромагнетика при одноосном напряжении определяется соотношением^[1]:

${\displaystyle \left({\frac {d\lambda }{dH}}\right)_{\sigma }=\left({\frac {dB}{d\sigma }}\right)_{H}}$,

где ${\displaystyle \lambda }$ — коэффициент магнитострикции, ${\displaystyle H}$ — напряженность магнитного поля, ${\displaystyle B}$ — намагниченность, σ — напряжение. Таким образом, если произведение ${\displaystyle \sigma \lambda _{s}}$ имеет положительный знак, намагниченность ${\displaystyle B}$ нарастает при росте напряжений, если же произведение ${\displaystyle \sigma \lambda _{s}}$ отрицательно — намагниченность ${\displaystyle B}$ снижается при росте напряжений. Этот эффект был подтвержден экспериментально^[2].

В таблице ниже показано поведение ферромагнетиков с различной магнитострикцией при их упругой деформации.

Знак магнитострикции	${\displaystyle \Delta l}$, удлинение	${\displaystyle \Delta J}$, Изменение намагниченности	Описание эффекта
-	${\displaystyle >0}$	${\displaystyle <0}$	отрицательный эффект Виллари
+	${\displaystyle >0}$	${\displaystyle >0}$	положительный эффект Виллари

При одноосном напряжении ${\displaystyle \sigma }$, действующем на одиночный магнитный домен, плотность энергии магнитоупругого эффекта выражается следующим образом^[3]:

${\displaystyle E_{\sigma }={\frac {3}{2}}\lambda _{s}\sigma \sin ^{2}(\theta )}$

где ${\displaystyle \lambda _{s}}$ — магнитострикция насыщения, а ${\displaystyle \theta }$ — угол между направлением намагниченности при насыщении и направлением действия напряжений. Когда ${\displaystyle \lambda _{s}}$ и ${\displaystyle \sigma }$ положительны (как в железе при растяжении), энергия минимальна при ${\displaystyle \theta }$ = 0, то есть когда направление действия напряжений совпадает с направлением намагниченности. Таким образом, намагниченность увеличивается при появлении растягивающих напряжений.

Магнитострикция и магнитоупругий эффект зависят от направления осей кристалла. В железе направления [100] (ребро куба) являются направлениями лёгкого намагничивания, в то время как в направлении [111] (пространственная диагональ куба) намагниченность невелика, пока не становится близкой к намагниченности насыщения, что приводит к изменению ориентации домена с [111] на [100]. Такая магнитная анизотропия вынуждает использовать два независимых коэффициента магнитострикции ${\displaystyle \lambda _{100}}$ и ${\displaystyle \lambda _{111}}$.

В металлах с кубической решеткой магнитострикция (и магнитоупругость) вдоль любой оси может быть определена линейной комбинацией этих двух констант. Например, магнитострикция в направлении [110] является линейной комбинацией ${\displaystyle \lambda _{100}}$ и ${\displaystyle \lambda _{111}}$.

Исходя из предположения изотропности магнитострикции (т.е. доменов одинакова в любых кристаллографических направлениях), то ${\displaystyle \lambda _{100}=\lambda _{111}=\lambda }$ и линейная зависимость между упругой энергией и напряжением сохраняется, ${\displaystyle E_{\sigma }={\frac {3}{2}}\lambda \sigma (\alpha _{1}\gamma _{1}+\alpha _{2}\gamma _{2}+\alpha _{3}\gamma _{3})^{2}}$. Здесь ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ — направляющие косинусы намагниченности домена, а ${\displaystyle \gamma _{1}}$, ${\displaystyle \gamma _{2}}$, ${\displaystyle \gamma _{3}}$ — направляющие косинусы связей — к кристаллографическим направлениям.