Пентация

Пента́ция — это повторяющаяся тетрация, как тетрация — повторяющееся возведение в степень. Она является гипероператором, это некоммутативная функция и, отсюда, имеет обратную функцию, которую можно назвать пента-корень, а также "определитель", который можно назвать пента-логарифмом (аналогично тому, как возведение в степень имеет функции: арифметический корень и логарифм).

• ${\displaystyle 2\uparrow ^{3}2={^{2}2}=4}$
• ${\displaystyle 2\uparrow ^{3}3={^{^{2}2}2}={^{4}2}=65\,536}$
• ${\displaystyle 2\uparrow ^{3}4={^{^{^{2}2}2}2}={^{65\,536}2}=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}}$ (степенная башня, 65 536 цифр в высоту) ${\displaystyle \approx \exp _{10}^{65\,533}(4{,}29508)}$

• ${\displaystyle 3\uparrow ^{3}2={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7\,625\,597\,484\,987}$
• ${\displaystyle 3\uparrow ^{3}3={^{^{3}3}3}={^{7\,625\,597\,484\,987}3}=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}$ (степенная башня, 7 625 597 484 987 цифр в высоту) ${\displaystyle \approx \exp _{10}^{7\,625\,597\,484\,986}(1{,}09902)}$

• ${\displaystyle 4\uparrow ^{3}2={^{4}4}=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2{,}19)}$ (число с более чем 8 072 304 726 028 225 379 382 630 397 085 399 030 071 367 921 738 743 031 867 082 828 418 414 481 568 309 149 198 911 814 701 229 483 451 981 557 574 771 156 496 457 238 535 299 087 481 244 990 261 351 117 цифр)

• ${\displaystyle 5\uparrow ^{3}2={^{5}5}=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3{,}33928)}$ (число с более чем 10^{1335740483872136983278553267576972270185117116755770623464509952108004698723634695141721494068939747755880776754895822228478283164306089959075181736358643875142011799147283547727738586021173064814703759351787200723048996452180837630041307409473692833759543038486957703064566010472360798193844897605589101209504209454546774958263097513767322005810705465510777633793402220923322988231124499380424439282894586348521178336279713878482570450648894133922805711795524395180721755577133072829011359247659895136301739079549270233908702418503761947271998797692094227571935828520680086265908877829725529753690673413222413335141457348022727623821406421253394216922437369408375365044138477385362978939070193348911232191623640567202579256689731508805134606143360451570066660431849665570707995072667117979943418700904329537790777733444534356826194248543340029979607298598979103744123795468203121816270562993465625073390799292310876206480054943499921701981053068932160917042995650473685207117931122905311184987598766153492828905534778648508346956438533483529463545400629688440184097561918277710690496615665576491722728848636579498113893073186293783290393447423502230550086959070687911995376710553095253124476796816498105591285423461097512139376745630443495554201011735746680320466221827426343772864901989905286630523156047116799565300979194648323188418359198350164206270055286819668314925659846493860937631657241157097013065082686784886418347324172663937544110210588867178098393563591187150255202650819735855907135915839072602897862107060170941999135561047873407607465254705064027127522840239126685623536275936529205915455897239794879202503708562622454151398263462216516157561411707580327491275675138797655162805648207735829835427209449101693854416217529432327740944907213968718451694468579092144757572479746480888506714440881805312510714171714259041497922832068414296939198127726510628452902194894972351788023966437996758286189291242980328184944824149703182726638329129225378609706224897759972026849700096019344671574560956468320222614748613869096068225240517313611151511470364192869101537259798067994825728472312203914722815403202457084423163900089648908404030178142145781926143847736767828712084988} цифр)

• ${\displaystyle {^{^{2}2}2}\neq \left(2\uparrow \uparrow 2\right)\uparrow \uparrow 2={^{2}4}=256}$

• ${\displaystyle {^{^{^{2}2}2}2}\neq \left((2\uparrow \uparrow 2)\uparrow \uparrow 2\right)\uparrow \uparrow 2={^{2}256}\approx 3.2317006\times 10^{616}}$ (число с более чем 617 цифр)

• ${\displaystyle {^{^{3}3}3}\neq \left(3\uparrow \uparrow 3\right)\uparrow \uparrow 3={^{3}7\,625\,597\,484\,987}\approx \exp _{10}^{4}(1{,}14589)}$ (число с более чем 10^{98235035280651} цифр)