Признак Сапогова

Признак Сапогова — признак сходимости числового ряда, предложенный Николаем Александровичем Сапоговым.

Пусть ${\displaystyle (b_{n})}$ есть монотонно возрастающая последовательность положительных чисел, тогда ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\right)}$,

равно как и ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}-1\right)}$

сходится, если последовательность ограничена ${\displaystyle (b_{n})}$ и расходится, если ${\displaystyle (b_{n})}$ — не ограничена.

Рассмотрим следующее бесконечное произведение ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\gamma _{n}}}$ с общим членом ${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\geqslant 1}$.

С одной стороны, частичное произведение равняется ${\displaystyle \prod _{n=1}^{m}{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}={\frac {1}{b_{1}}}\cdot b_{m+1}}$, так что по определению данное бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится (т. е. ограничена) последовательность ${\displaystyle (b_{n})}$.

С другой стороны, для сходимости этого бесконечного произведения необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right)\right)}$ с неотрицательным членом ${\displaystyle \delta _{n}=\ln \left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right)\geqslant 0}$.

При этом

${\displaystyle \delta _{n}=\ln \left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}-1\right)\sim \left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}-1\right)=\left({\frac {b_{n+1}-b_{n}}{b_{n}}}\right)\sim \left({\frac {b_{n+1}-b_{n}}{b_{n+1}}}\right)=\left(1-{\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\right)}$

и в соответствии с признаком сравнения в предельной форме ряды ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\right)}$, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}-1\right)}$, бесконечное произведение ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$ и числовая последовательность ${\displaystyle (b_{n})}$ все вместе либо сходятся, либо расходятся.

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 1974. — Т. 2. — С. 291.
• A.D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. — 2006. — С. 340. — 1544 с. — ISBN 978-1420010510.