Телескопический признак

Телескопический признак, или признак сгущения Коши, — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши в 1821 году^[1].

Формулировка

Пусть для членов $f(n)$ ряда выполняется:

последовательность $\{f(n)\}$ монотонно убывает

$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ — члены неотрицательны

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится или расходится одновременно с рядом $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ .

Доказательство

1. По условиям теоремы, последовательность членов $\{f(n)\}$ является монотонно убывающей, т.е. любой член последовательности должен быть не меньше каждого последующего, а значит сумма $m$ членов, начиная с $f(n)$ , не превосходит $m\cdot f(n)$ :

\sum _{i=n}^{n+m-1}f(i)\leq m\cdot f(n)

Сгруппируем члены ряда $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ и, используя это свойство убывающей последовательности, получим:

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }f(n)&=f(1)+\underbrace {f(2)+f(3)} _{\leq f(2)+f(2)}+\underbrace {f(4)+f(5)+f(6)+f(7)} _{\leq f(4)+f(4)+f(4)+f(4)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1)} _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+\cdots +f(2^{n})}+\cdots \\&\leq f(1)+2f(2)+4f(4)+\cdots +2^{n}f(2^{n})+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n}).\end{aligned}}

То есть, если ряд $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ сходится, то согласно признаку сравнения ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ тем более сходится.

2. Аналогично:

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=\underbrace {f(1)+f(2)} _{\leq f(1)+f(1)}+\underbrace {f(2)+f(4)+f(4)+f(4)} _{\leq f(2)+f(2)+f(3)+f(3)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n+1})+\cdots +f(2^{n+1})} _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+f(2^{n}+1)+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1)}+\cdots \\&\leq f(1)+f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)+\cdots +f(n)+f(n)+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).\end{aligned}}

То есть если ряд $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ расходится, то согласно признаку сравнения ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ тем более расходится.

\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).

■

Обобщения

В 1864 году Жозеф Бертран показал, что вместо ряда $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ в данной теореме можно использовать любой ряд вида:^[2]

\sum _{n=0}^{\infty }m^{n}f(m^{n})

, где

m\in \mathbb {N} ,m\geq 2

В 1902 году Эмиль Борель ещё более расширил данную теорему, использовав вместо ряда $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ ряд вида:^[3]

\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}f([a]^{n})

, где

a\in \mathbb {R} ,a>1

Здесь $[a]$ — целая часть числа $a$ .

Признак сгущения Шлёмильха

В 1873 году Оскар Шлёмильх доказал другое обобщение телескопического признака^[4]:

Пусть для членов $f(n)$ ряда выполняется:

последовательность $\{f(n)\}$ монотонно убывает

$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ — члены неотрицательны

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится или расходится одновременно с рядами $\sum _{n=1}^{\infty }(2n-1)\cdot f(n^{2})$ и $\sum _{n=1}^{\infty }2n\cdot f(n^{2})$ .

Признак сгущения Кноппа

В своей книге 1922 года Конрад Кнопп сформулировал следующее обобщение телескопического признака, которое иногда приписывают Шлёмильху^[5].

Пусть:

$\{f(n)\}$ — монотонно убывающая последовательность (члены ряда)

$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ — последовательность неотрицательна

$\{u_{n}\}$ — некоторая строго возрастающая последовательность

$u_{n}\in \mathbb {N}$ (а значит, $u_{n}>0$ ) $\forall n$

последовательность $\{r_{n}\}=\left\{{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}\right\}$ ограничена

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится или расходится, одновременно с рядом $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1}-u_{n})f(u_{n})$ .

Например, если рассматривать последовательность $u_{n}=c^{n}$ , которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном $c\in \mathbb {N} \setminus \{1\}$ , то согласно указанной теореме ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится или расходится одновременно с рядом $(c-1)\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ , а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится или расходится одновременно с рядом $\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ при любой выбранной константе $c\in \mathbb {N} ,\;c\neq 1$ .

Примечания

↑ Cauchy A.L. I.re partie: Analyse algébrique // Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — С. 135-136. — 576 с.
↑ Bertrand J. Premiére Partie. Calcul Différentiel // Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1864. — P. 234-235. — 780 p.
↑ Borel E. Leçons sur les Séries a Termes Positifs (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1902. — 91 p.
↑ Schlömilch O. Ueber dei gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen (нем.) // ZfMuP. — 1873. — Bd. b28. — S. 425-426.
↑ Bonar, Khoury, 2006, теорема 2.4 с доказательством.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Cauchy Condensation Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
D. D. Bonar and M. Khoury, Jr. More Sophisticated Techniques // Real Infinite Series. — Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. — С. 43-45. — 264 с. — ISBN 0-88385-745-6.

[1] Cauchy A.L. I.re partie: Analyse algébrique // Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — С. 135-136. — 576 с.

[2] Bertrand J. Premiére Partie. Calcul Différentiel // Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1864. — P. 234-235. — 780 p.

[3] Borel E. Leçons sur les Séries a Termes Positifs (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1902. — 91 p.

[4] Schlömilch O. Ueber dei gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen (нем.) // ZfMuP. — 1873. — Bd. b28. — S. 425-426.

[_ca8f7db0232b866f-5] Bonar, Khoury, 2006, теорема 2.4 с доказательством.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса Теорема Дини
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича