Эллипсоидальные координаты

Эллипсоидальные координаты — трёхмерная ортогональная система координат ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$, являющаяся обобщением двумерной эллиптической системы координат. Данная система координат основана на использовании софокусных поверхностей второго порядка.

Декартовы координаты ${\displaystyle (x,y,z)}$ получаются из эллипсоидальных координат ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ при помощи уравнений

${\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}},}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}},}$

${\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}},}$

при этом на координаты накладываются ограничения

${\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}$

Поверхности с постоянной ${\displaystyle \lambda }$ являются эллипсоидами:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,}$

Поверхности с постоянной ${\displaystyle \mu }$ являются однополостными гиперболоидами

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,}$

поскольку последнее слагаемое отрицательно, а поверхности с постоянной ${\displaystyle \nu }$ являются двуполостными гиперболоидами

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1,}$

поскольку два последних слагаемых отрицательны.

При построении эллипсоидальных координат используются софокусные поверхности второго порядка.

Для краткости в уравнениях ниже введём функцию

${\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right),}$

где ${\displaystyle \sigma }$ может представлять любую из величин ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$. Используя данную функцию, можем записать масштабные множители

${\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}},}$

${\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}},}$

${\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}.}$

Следовательно бесконечно малый элементарный объём запишется в виде

${\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\ d\lambda d\mu d\nu ,}$

а лапласиан имеет вид

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\ +}$

${\displaystyle +{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\ +\ {\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right].}$

Другие дифференциальные операторы, такие как ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$, можно выразить в координатах ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ путём подстановки масштабных множителей в общие формулы для ортогональных координат.

• Фокалоид (оболочка, заданная двумя координатными поверхностями)

• Morse P. M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I (неопр.). — New York: McGraw-Hill Education, 1953. — С. 663.
• Zwillinger D. Handbook of Integration (неопр.). — Boston, MA: Jones and Bartlett, 1992. — С. 114. — ISBN 0-86720-293-9.
• Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (неопр.). — New York: Springer Verlag, 1967. — С. 101—102.
• Korn G. A., Korn T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (англ.). — New York: McGraw-Hill Education, 1961. — P. 176.
• Margenau H., Murphy G. M. The Mathematics of Physics and Chemistry (неопр.). — New York: D. van Nostrand, 1956. — С. 178—180.
• Moon P. H., Spencer D. E. Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ) // Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (англ.). — corrected 2nd, 3rd print. — New York: Springer Verlag, 1988. — P. 40—44 (Table 1.10). — ISBN 0-387-02732-7.

• Описание софокусных эллипсоидальных координат на MathWorld