Распределение Бернулли

Предельное свойство описывается теоремой Пуассона:

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где ${\displaystyle p_{n}}$ — вероятность «успеха», ${\displaystyle \mu _{n}}$ — количество «успехов».

Тогда если

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}=0;}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda$ ;}
3. ${\displaystyle \lambda >0,}$

то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega$ :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=p}$,

${\displaystyle \operatorname {D} [X]=p(1-p)=pq}$, так как: ${\displaystyle \operatorname {E} X^{2}-\left(\operatorname {E} X\right)^{2}=p-p^{2}=p\cdot (1-p)=pq}$.

Вообще, легко видеть, что

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\Pr(X=1)\cdot 1^{n}+\Pr(X=0)\cdot 0^{n}=p\cdot 1^{n}+q\cdot 0^{n}=p=\mathbb {E} [X],\forall n\in \mathbb {N} }$