Распределение вероятностей

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и соответствующие вероятности появления этих значений.

Определение

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ , и на нём определена случайная величина $X:\Omega \to \mathbb {R}$ . В частности, по определению, $X$ является измеримым отображением измеримого пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ в измеримое пространство $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ , где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ обозначает борелевскую сигма-алгебру на $\mathbb {R}$ .

Тогда случайная величина $X$ индуцирует вероятностную меру $\mathbb {P} ^{X}$ на $\mathbb {R}$ следующим образом:

\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (\{\omega :X(\omega )\in B\}),\;\forall B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).

Мера $\mathbb {P} ^{X}$ называется распределением случайной величины $X$ . Иными словами, $\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\in B)$ , таким образом $\mathbb {P} ^{X}(B)$ задаёт вероятность того, что случайная величина $X$ попадает во множество $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ .

Классификация распределений

Функция $F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x))=\mathbb {P} (X<x)$ называется функцией распределения случайной величины $X$ . Из свойств вероятности вытекает теорема:

Функция распределения $F_{X}(x)$ любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам^[1]:

$F_{X}(x)$ — функция неубывающая;
$\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$ ;
$F_{X}$ непрерывна слева.

Теорема:

Если функция $F(x)$ удовлетворяет перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что $F(x)$ является её функцией распределения^[1].

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы их задания. В то же время распределения (и случайные величины) принято классифицировать по характеру функций распределения^[2].

Дискретные распределения

Случайная величина $X$ называется простой или дискретной, если она принимает не более чем счётное, конечное число значений. То есть $X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}$ , где $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ — разбиение $\Omega$ .

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: $\mathbb {P} ^{X}(B)=\sum _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})$ . Введя обозначение $p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})$ , можно задать функцию $p(a_{i})=p_{i}$ . В силу свойств вероятности $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ . Используя счётную аддитивность $\mathbb {P}$ , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение $X$ .

Набор вероятностей $p(a_{i})=p_{i}$ , где $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ называется распределением вероятностей дискретной случайной величины $X$ . Совокупность значений $a_{i},i=1,2...\infty$ и вероятностей $p_{i},i\in {1,2...\infty }$ называется дискретным законом распределения вероятностей^[3].

Для иллюстрации сказанного выше, рассмотрим следующий пример.
Пусть функция $p$ задана таким образом, что $p(-1)={\frac {1}{2}}$ и $p(1)={\frac {1}{2}}$ . Эта функция задаёт распределение случайной величины $X$ , для которой $\mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2}}$ (см. распределение Бернулли, где случайная величина принимает значения $0,1$ ). Случайная величина $X$ является моделью подбрасывания уравновешенной монеты.

Другими примерами дискретных случайных величин являются распределения

Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

$p_{i}\geqslant 0$ ,
$\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$ , если множество значений является конечным — из свойств вероятности,
Функция распределения $F_{X}(x)$ имеет конечное или счётное множество точек разрыва первого рода,
Если $x_{0}$ — точка непрерывности $F_{X}(x)$ , то ${\frac {dF_{X}(x_{0})}{dx}}=0$ .

Решётчатые распределения

Решётчатым называется распределение с дискретной функцией распределения и точки разрыва функции распределения образуют подмножество точек вида $a+nh$ , где $a$ - вещественное, $h>0$ , $n$ — целое^[4].

Теорема. Для того, чтобы функция распределения $F$ была решётчатой с шагом $h$ , необходимо и достаточно, чтобы её характеристическая функция $f$ удовлетворяла соотношению $|f(2\pi /h)|=1$ ^[4].

Абсолютно непрерывные распределения

Распределение случайной величины $X$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция, такая что

$\mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx$ .

Тогда функция $f_{X}$ называется плотностью распределения вероятностей случайной величины $X$ .

Функция таких распределений абсолютно непрерывна в смысле Лебега.

Примерами абсолютно непрерывных распределений являются

Пример. Пусть $f(x)=1$ , когда $0\leqslant x\leqslant 1$ , и $f(x)=0$ в противном случае. Тогда $\mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=b-a$ , если $(a,b)\subset [0,1]$ .

Для любой плотности распределения $f_{X}$ верны свойства:

$f_{X}(x)\geqslant 0$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1$ .

Верно и обратное. Если

$f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R}$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$ ,

то существует распределение $\mathbb {P} ^{X}$ такое, что $f(x)$ является его плотностью.

Применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к следующим соотношениям между функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения:

$\mathbb {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$ .

Теорема. Если $f(x)$ — непрерывная плотность распределения, а $F(x)$ — его функция распределения, то

$F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,$
$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$ .

При построении распределения на основе эмпирических данных следует избегать ошибок округления.

Сингулярные распределения

Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют величины, не являющиеся ни дискретными, ни непрерывными ни на одном интервале. К таким случайным величинам относятся величины функции распределения которых непрерывны, но возрастают только на множестве лебеговой меры нуль^[5].

Сингулярными называют распределения, сосредоточенные на множестве нулевой меры, обычно меры Лебега.

Таблица основных распределений

Дискретные распределения
Название	Обозначение	Параметр	Носитель	Плотность (последовательность вероятностей)	Матем. ожидание	Дисперсия	Характеристическая функция
Дискретное равномерное	${\text{R}}\{1,\dots ,N\}$	$N\in \mathbb {N}$	$\{1,\dots ,N\}$	$\mathrm {P} (\{k\})={\frac {1}{N}},k\in \{1,\dots ,N\}$	${\frac {N+1}{2}}$	${\frac {N^{2}-1}{12}}$	${\frac {e^{it}-e^{i(N+1)t}}{N(1-e^{it})}}$
Бернулли	${\text{Bern}}(p)$	$p\in (0,1)$	$\{0,1\}$	$\mathrm {P} (\{0\})=1-p,\mathrm {P} (\{1\})=p$	$p$	$p(1-p)$	$pe^{it}+1-p$
Биноминальное	${\text{Bin}}(n,p)$	$n\in \mathbb {N} ,p\in (0,1)$	$\{0,\dots ,n\}$	$\mathrm {P} (\{k\})=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$	$(pe^{it}+1-p)^{n}$
Пуассоновское	${\text{Pois}}(\lambda )$	$\lambda >0$	$\mathbb {Z} _{+}$	$\mathrm {P} (\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
Геометрическое	${\text{Geom}}(p)$	$p\in (0,1]$	$\mathbb {N}$	$\mathrm {P} (\{k\})=(1-p)^{k-1}p$	${\frac {1}{p}}$	${\frac {1-p}{p^{2}}}$	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}$

Абсолютно непрерывные распределения
Название	Обозначение	Параметр	Носитель	Плотность вероятности $f(x)$	Функция распределения F(х)	Характеристическая функция	Математическое ожидание	Медиана	Мода	Дисперсия	Коэффициент асимметрии	Коэффициент эксцесса	Дифференциальная энтропия	Производящая функция моментов
Равномерное непрерывное	$U(a,b)$	$a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ , $a$ — коэффициент сдвига, $b-a$ — коэффициент масштаба	$[a,b]$	${\dfrac {1}{b-a}}I\{x\in [a,b]\}$	${\dfrac {x-a}{b-a}}I\{x\in [a,b]\}+I\{x>b\}$	${\dfrac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$	${\frac {a+b}{2}}$	${\frac {a+b}{2}}$	любое число из отрезка $[a,b]$	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}$	$0$	$-{\frac {6}{5}}$	$\ln(b-a)$	${\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}$
Нормальное (гауссовское)	$N(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R}$ — коэффициент сдвига, $\sigma >0$ — коэффициент масштаба	$\mathbb {R}$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$	${\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right)$	$e^{i\,\mu \,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	$\sigma ^{2}$	$0$	$0$	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$	$e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$
Логнормальное	$LN(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0$	$(0;+\infty )$	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$	$e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$	$e^{\mu }$	$e^{\mu -\sigma ^{2}}$	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}$	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}$	$e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$	$e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.$
Гамма-распределение	$\Gamma (\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	$\mathbb {R} _{+}$	${\frac {\alpha ^{\beta }x^{\beta -1}}{\Gamma (\beta )}}e^{-\alpha x}$	${\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\gamma (\beta ,\alpha x)$	$\left(1-{\frac {it}{\alpha }}\right)^{-\beta }$	${\frac {\beta }{\alpha }}$		${\frac {\beta -1}{\alpha }}$ при $\beta \geq 1$	${\frac {\beta }{\alpha ^{2}}}$	${\frac {2}{\sqrt {\beta }}}$	${\frac {6}{\beta }}$	${\begin{aligned}\beta &-\ln \alpha +\ln \Gamma (\beta )\\&+(1-\beta )\psi (\beta )\end{aligned}}$	$\left(1-{\frac {t}{\alpha }}\right)^{-\beta }$ при $t<\alpha$
Экспоненциальное	${\text{Exp}}(\lambda )$	$\lambda >0$	$\mathbb {R} _{+}$	$\lambda e^{-\lambda x}I\{x>0\}$	$1-e^{-\lambda x}$	${\frac {\lambda }{\lambda -it}}$	${\frac {1}{\lambda }}$	$\ln(2)/\lambda$	$0$	$\lambda ^{-2}$	$2$	$6$	$1-\ln(\lambda )$	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
Лапласа	${\text{Laplace}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0$ — коэффициент масштаба, $\beta \in \mathbb {R}$ — коэффициент сдвига	$\mathbb {R}$	${\frac {\alpha }{2}}\,e^{-\alpha \|x-\beta \|}$	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2}}e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}$	${\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}e^{it\beta }$	$\beta$	$\beta$	$\beta$	${\frac {2}{\alpha ^{2}}}$	$0$	$3$	$\ln {\frac {2e}{\alpha }}$	${\frac {e^{\beta t}}{1-\alpha ^{2}t^{2}}}{\text{ для }}\|t\|<1/\alpha$
Коши	${\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )$	$x_{0}$ — коэффициент сдвига, $\gamma >0$ — коэффициент масштаба	$\mathbb {R}$	${1 \over \pi }\left({\gamma \over \gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}\right)$	${\frac {1}{\pi }}\mathrm {arctg} \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$	$e^{i\,x_{0}\,t-\gamma \,\|t\|}$	нет	$x_{0}$	$x_{0}$	$+\infty$	нет	нет	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$	нет
Бета-распределение	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	$[0,1]$	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{{\text{B}}(\alpha ,\beta )}}$	$I_{x}(\alpha ,\beta )$	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha$	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$	$I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}$ для $\alpha ,\beta >1$	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$ для $\alpha >1,\beta >1$	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$		$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
хи-квадрат	$\chi ^{2}(k)$	$k>0$ — число степеней свободы	$\mathbb {R} _{+}$	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}$	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}$	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}$	$k$	примерно $k-2/3$	$k-2$ если $k\geq 2$	$2\,k$	${\sqrt {8/k}}$	$12/k$	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)$	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , если $2\,t<1$
Стьюдента	${\text{t}}(n)$	$n>0$ — число степеней свободы	$\mathbb {R}$	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{-{\frac {n+1}{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {n+1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{n}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$	${\frac {K_{n/2}\left({\sqrt {n}}\|t\|\right)\cdot \left({\sqrt {n}}\|t\|\right)^{n/2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2-1}}}$ для $n>0$	$0$ , если $n>1$	$0$	$0$	${\frac {n}{n-2}}$ , если $n>2$	$0$ , если $n>3$	${\frac {6}{n-4}}$ , если $n>4$	${\begin{matrix}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}$	Нет
Фишера	$F(d_{1},d_{2})$	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ — числа степеней свободы	$\mathbb {R} _{+}$	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}$	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$	${\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}})}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)$	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ , если $d_{2}>2$		${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ , если $d_{1}>2$	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}},$ если $d_{2}>4$	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},$ если $d_{2}>6$	$12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$	$\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!$ $\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!$ $+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!$
Рэлея	$\mathrm {Rayleigh} (\sigma )$	$\sigma$	$\mathbb {R} _{+}$	${\frac {x}{{\sigma }^{2}}}e^{-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}}}$	$1-e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}$	$1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sigma$	$\sigma {\sqrt {\ln(4)}}$	$\sigma$	$\left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{2}}$	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}$	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$
Вейбулла	$\mathrm {W} (k,\lambda )$	$\lambda >0$ — коэффициент масштаба, $k>0$ — коэффициент формы	$\mathbb {R} _{+}$	${\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}$	$1-e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)$	$\lambda \ln(2)^{1/k}$	${\frac {\lambda (k-1)^{\frac {1}{k}}}{k^{\frac {1}{k}}}},$ для $k>1$	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$	${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \Gamma (1+{\frac {2}{k}})\lambda ^{2}+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k}}\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)+6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-3\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$	$\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\left({\frac {\lambda }{k}}\right)^{k}+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1$
Логистическое	$L(\mu ,s)$	$\mu$ , $s>0$	$\mathbb {R}$	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$	${\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}$	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ для $\|ist\|<1$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$	$0$	$6/5$	$\ln(s)+2$	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ для $\|s\,t\|<1$
Вигнера	$\rho (R)$	$R>0$ — радиус	$[-R;+R]$	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}$ для $-R\leq x\leq R$	$2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}$	$0$	$0$	$0$	${\frac {R^{2}}{4}}$	$0$	$-1$	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}$	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}$
Парето	${\text{Pareto}}(k,x_{\text{m}})$	$x_{\text{m}}>0$ — коэффициент масштаба, $k>0$	$[x_{\text{m}};+\infty )$	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$	$k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m}}t)^{k}{\big ]}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )}$	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , если $k>1$	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$	$x_{\text{m}}$	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ при $k>2$	${\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}$ при $k>3$	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}$ при $k>4$	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m}}}}\right)-{\frac {1}{k}}-1$	нет

где $\Gamma$ — гамма-функция, $\gamma$ — неполная гамма-функция, $\psi =\Gamma '/\Gamma$ — дигамма-функция, $B$ — бета-функция, $I_{x}$ — регуляризованная неполная бета-функция, $_{1}F_{1}$ , $_{2}F_{1}$ — гипергеометрическая функция, $J_{\alpha }$ — функция Бесселя, $I_{\nu }$ — модифицированная функция Бесселя первого рода, $K_{\nu }$ — модифицированная функция Бесселя второго рода, $U(a,b,z)$ — функция Трикоми.

Многомерные распределения
Название	Обозначение	Параметр	Носитель	Плотность (последовательность вероятностей)	Матем. ожидание	Дисперсия	Характеристическая функция
Гауссовское	$N(a,\Sigma )$	$a\in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}$ — симм. и неотр. опр.	$\mathbb {R} ^{n}$	$p(x)={\dfrac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}e^{-{\frac {1}{2}}(x-a)^{T}\Sigma ^{-1}(x-a)}$	$a$	$\Sigma$	$e^{ia^{T}t-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}$

Примечания

1 2 Боровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 39.
↑ Маталыцкий, Хацкевич. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, 2012. — С. 69.
↑ Маталыцкий, Хацкевич. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, 2012. — С. 68
1 2 Рамачандран, 1975, с. 38.
↑ Маталыцкий, Хацкевич. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, 2012. — С.76

Литература

Распределение вероятностей : [арх. 27 ноября 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. — М.: Бином, 2009. — 472 с.
Жуковский М.Е., Родионов И.В. Основы теории вероятностей. — М.: МФТИ, 2015. — 82 с.
Жуковский М.Е., Родионов И.В., Шабанов Д.А. Введение в математическую статистику. — М.: МФТИ, 2017. — 109 с.
Рамачандран Б. Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.
Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.
Губарев В.В. Вероятностные модели: Справочник в 2-х частях. — Новосибирск.: Новосибир. электротехн. ин-т, 1992. — 422 с.

См. также

Маргинальное распределение

[Боровков-1] 1 2 Боровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 39.

[2] Маталыцкий, Хацкевич. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, 2012. — С. 69.

[3] Маталыцкий, Хацкевич. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, 2012. — С. 68

[_34fdc5c6298acdf3-4] 1 2 Рамачандран, 1975, с. 38.

[5] Маталыцкий, Хацкевич. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, 2012. — С.76

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]